模p运算
给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式
n = kp + r
其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。
对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：
- 取模运算：a mod p 表示a除以p的余数。
- 模p加法：(a + b) mod p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则 (a+b) mod p = r。
- 模p减法：(a-b) mod p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。
- 模p乘法：(a × b) mod p，其结果是 a × b算术乘法除以p的余数。
可以发现,模p运算和普通的四则运算有很多类似的规律，如：
| 规律 |
公式 |
| 结合率 |
((a+b) mod p + c)mod p = (a + (b+c) mod p) mod p
((a*b) mod p * c)mod p = (a * (b*c) mod p) mod p |
| 交换率 |
(a + b) mod p = (b+a) mod p
(a × b) mod p = (b × a) mod p |
| 分配率 |
((a +b)mod p × c) mod p = ((a × c) mod p + (b × c) mod p) mod p |
简单的证明其中第一个公式：
((a+b) mod p + c) mod p = (a + (b+c) mod p) mod p
假设
a = k1 p + r1
b = k2 p + r2
c = k3 p + r3
a+b = (k1 + k2) p + (r1 + r2)
如果(r1 + r2) >= p ，则
(a+b) mod p = (r1 + r2) -p
否则
(a+b) mod p = (r1 + r2)
再和c进行模p和运算，得到
结果为 r1 ＋ r2 + r3的算术和除以p的余数。
对右侧进行计算可以得到同样的结果，得证。
模p相等
如果两个数a、b满足a mod p = b mod p，则称他们模p相等，记做
a ≡ b mod p
可以证明，此时a、b满足 a = kp + b，其中k是某个整数。
对于模p相等和模p乘法来说，有一个和四则运算中迥然不同得规则。在四则运算中，如果c是一个非0整数，则
ac = bc 可以得出 a =b
但是在模p运算中，这种关系不存在，例如：
(3 x 3) mod 9 = 0
(6 x 3) mod 9 = 0
但是
3 mod 9 = 3
6 mod 9 =6
定理（消去律）：如果gcd(c,p) ＝ 1 ，则 ac ≡ bc mod p 可以推出 a ≡ b mod p
证明：
因为ac ≡ bc mod p
所以ac = bc + kp，也就是c(a-b) = kp
因为c和p没有除1以外的公因子，因此上式要成立必须满足下面两个条件中的一个
1) c能整除k
2) a = b
如果2不成立，则c|kp
因为c和p没有公因子，因此显然c|k，所以k = ck'
因此c(a-b)kp可以表示为c(a-b) =ck'p
因此a-b = k'p，得出a ≡ b mod p
如果a = b，则a ≡ b mod p 显然成立
得证
欧拉函数
欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做：φ(n)，其中φ(1)被定义为1，但是并没有任何实质的意义。
定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。
显然，对于素数p，φ(p)= p -1.对于两个素数p、q，他们的乘积n = pq 满足φ(n) =(p-1)(q-1)
证明：对于质数p,q，满足φ(n) =(p-1)(q-1)
考虑n的完全余数集Zn = { 1,2,....,pq -1}
而不和n互质的集合由下面三个集合的并构成：
1) 能够被p整除的集合{p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个
2) 能够被q整除的集合{q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个
3) {0}
很显然，1、2集合中没有共同的元素，因此Zn中元素个数 ＝ pq - (p-1 + q- 1 + 1) = (p-1)(q-1)
欧拉定理
对于互质的整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n
证明：
首先证明下面这个命题：
对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考虑集合
S = {ax1 mod n,ax2mod n,...,axφ(n)mod n}
则S = Zn
1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则axi也一定于p互质，因此
任意xi，axi mod n 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj
则axi mod n ≠ axi mod n，这个由a、p互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn
既然这样，那么
（ax1 × ax2×...×axφ(n)）mod n
= （ax1 mod n × ax2mod n × ... × axφ(n)mod n）mod n
= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
考虑上面等式左边和右边
左边等于(aφ(n) × （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n) mod n
右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
而x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n和p互质
根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
aφ(n) ≡ 1 mod n
推论：对于互质的数a、n，满足aφ(n)+1 ≡ a mod n
费马定理
a是不能被质数p整除的正整数，则有ap-1 ≡ 1 mod p
证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有ap ≡ a mod p